Квадрат ненулевой координаты фокусов равен

Определить вид кривой второго порядка онлайн

Приведём примеры кривых второго порядка, для которых можно определить канонический вид онлайн:

Уравнение Канонический вид Тип Измерение
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0 x^2=1 Две параллельные прямые Кривая
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0 y^2=4*sqrt(2)*x Парабола Линия
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0 x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0 Вырожденный эллипс Линия
5*x^2+ 4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0 x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1 Эллипс

Ислледование на определение вида кривой будет выглядеть примерно так:

Имеется два способа: Прямой метод и метод инвариантов:

Дано ур-ние кривой 2-порядка: $$5 x^ <2>+ 4 x y + 8 x + 8 y^ <2>+ 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_ <11>x^ <2>+ 2 a_ <12>x y + 2 a_ <13>x + a_ <22>y^ <2>+ 2 a_ <23>y + a_ <33>= 0$$ где $$a_ <11>= 5$$ $$a_ <12>= 2$$ $$a_ <13>= 4$$ $$a_ <22>= 8$$ $$a_ <23>= 7$$ $$a_ <33>= 5$$ Вычислим определитель $$\Delta = \left|\begina_ <11>& a_<12>\\a_ <12>& a_<22>\end\right|$$ или, подставляем $$\Delta = \left|\begin5 & 2\\2 & 8\end\right|$$ $$\Delta = 36$$ Т.к. $$\Delta$$ не равен 0, то находим центр канонической системы координат. Для решаем систему уравнений $$a_ <11>x_ <0>+ a_ <12>y_ <0>+ a_ <13>= 0$$ $$a_ <12>x_ <0>+ a_ <22>y_ <0>+ a_ <23>= 0$$ подставляем коэффициенты $$5 x_ <0>+ 2 y_ <0>+ 4 = 0$$ $$2 x_ <0>+ 8 y_ <0>+ 7 = 0$$ тогда $$x_ <0>= — \frac<1><2>$$ $$y_ <0>= — \frac<3><4>$$ Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O’x’y’ $$a’_ <33>+ a_ <11>x’^ <2>+ 2 a_ <12>x’ y’ + a_ <22>y’^ <2>= 0$$ где $$a’_ <33>= a_ <13>x_ <0>+ a_ <23>y_ <0>+ a_<33>$$ или $$a’_ <33>= 4 x_ <0>+ 7 y_ <0>+ 5$$ $$a’_ <33>= — \frac<9><4>$$ тогда ур-ние превратится в $$5 x’^ <2>+ 4 x’ y’ + 8 y’^ <2>- \frac<9> <4>= 0$$ Делаем поворот системы полученной координат на угол φ $$x’ = \tilde x \cos <\left (\phi \right )>- \tilde y \sin<\left (\phi \right )>$$ $$y’ = \tilde x \sin <\left (\phi \right )>+ \tilde y \cos<\left (\phi \right )>$$ φ — определяется из формулы $$\cot <\left (2 \phi \right )>= \frac <a_<11>- a_<22>><2 a_<12>>$$ подставляем коэффициенты $$\cot <\left (2 \phi \right )>= — \frac<3><4>$$ тогда $$\phi = — \frac<1> <2>\operatorname<\left (\frac<3> <4>\right )>$$ $$\sin <\left (2 \phi \right )>= — \frac<4><5>$$ $$\cos <\left (2 \phi \right )>= \frac<3><5>$$ $$\cos <\left (\phi \right )>= \sqrt<\frac<1> <2>\cos <\left (2 \phi \right )>+ \frac<1><2>>$$ $$\sin <\left (\phi \right )>= \sqrt<- \cos^<2> <\left (\phi \right )>+ 1>$$ $$\cos <\left (\phi \right )>= \frac<2 \sqrt<5>><5>$$ $$\sin <\left (\phi \right )>= — \frac<\sqrt<5>><5>$$ подставляем коэффициенты $$x’ = \frac<2 \sqrt<5>> <5>\tilde x + \frac<\tilde y> <5>\sqrt<5>$$ $$y’ = — \frac<\tilde x> <5>\sqrt <5>+ \frac<2 \sqrt<5>> <5>\tilde y$$ тогда ур-ние превратится из $$5 x’^ <2>+ 4 x’ y’ + 8 y’^ <2>- \frac<9> <4>= 0$$ в $$8 \left(- \frac<\tilde x> <5>\sqrt <5>+ \frac<2 \sqrt<5>> <5>\tilde y\right)^ <2>+ 4 \left(- \frac<\tilde x> <5>\sqrt <5>+ \frac<2 \sqrt<5>> <5>\tilde y\right) \left(\frac<2 \sqrt<5>> <5>\tilde x + \frac<\tilde y> <5>\sqrt<5>\right) + 5 \left(\frac<2 \sqrt<5>> <5>\tilde x + \frac<\tilde y> <5>\sqrt<5>\right)^ <2>- \frac<9> <4>= 0$$ упрощаем $$4 \tilde x^ <2>+ 9 \tilde y^ <2>- \frac<9> <4>= 0$$ Данное уравнение является эллипсом $$\frac<\tilde x^<2>><\left(\frac<3><4>\right)^<2>> + \frac<\tilde y^<2>><\left(\frac<1><2>\right)^<2>> = 1$$ — приведено к каноническому виду.
Центр канонической системы координат в точке O:

Базис канонической системы координат $$\vec e_1 = \left ( \frac<2 \sqrt<5>><5>, \quad — \frac<\sqrt<5>><5>\right )$$ $$\vec e_2 = \left ( \frac<\sqrt<5>><5>, \quad \frac<2 \sqrt<5>><5>\right )$$

Метод инвариантов

Дано ур-ние линии 2-порядка: $$5 x^ <2>+ 4 x y + 8 x + 8 y^ <2>+ 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_ <11>x^ <2>+ 2 a_ <12>x y + 2 a_ <13>x + a_ <22>y^ <2>+ 2 a_ <23>y + a_ <33>= 0$$ где $$a_ <11>= 5$$ $$a_ <12>= 2$$ $$a_ <13>= 4$$ $$a_ <22>= 8$$ $$a_ <23>= 7$$ $$a_ <33>= 5$$ Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: $$I_ <1>= a_ <11>+ a_<22>$$

подставляем коэффициенты $$I_ <1>= 13$$

$$I_ <1>= 13$$ $$I_ <2>= 36$$ $$I_ <3>= -81$$ $$I <\left (\lambda \right )>= \lambda^ <2>- 13 \lambda + 36$$ $$K_ <2>= 0$$ Т.к. $$I_ <2>> 0 \wedge I_ <1>I_ <3>< 0$$ то по признаку типов линий:
данное уравнение имеет тип : эллипс.
Составляем характеристическое уравнение для нашей линии: $$- I_ <1>\lambda + I_ <2>+ \lambda^ <2>= 0$$ или $$\lambda^ <2>- 13 \lambda + 36 = 0$$ $$\lambda_ <1>= 9$$ $$\lambda_ <2>= 4$$ тогда канонический вид уравнения будет $$\tilde x^ <2>\lambda_ <1>+ \tilde y^ <2>\lambda_ <2>+ \frac<I_<3>><I_<2>> = 0$$ или $$9 \tilde x^ <2>+ 4 \tilde y^ <2>- \frac<9> <4>= 0$$ $$\frac<\tilde x^<2>><\left(\frac<1><2>\right)^<2>> + \frac<\tilde y^<2>><\left(\frac<3><4>\right)^<2>> = 1$$ — приведено к каноническому виду.

Источник

Кривые линии второго порядка

1. Окружность. 2Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной фиксированной точки, называемой центром окружности. Расстояние от произвольной точки окружности до его центра называется радиусом окружности.

g Если центр окружности находится в точке , а радиус равен R, то уравнение окружности имеет вид:

4Обозначим через (рис. 3.5) произвольную точку окружности. Используя формулу расстояния между двумя токами (3.1) и определение окружности, получим: . Возводя полученное равенство в квадрат, мы получим формулу (3.13).3

2. Эллипс. 2 Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Для того, чтобы вывести каноническое (простейшее) уравнение эллипса, примем за ось Ox прямую, соединяющую фокусы F1 и F2. Пусть при этом фокусы будут симметричны относительно начала координат, т.е. будут иметь координаты: и . Здесь через 2с обозначено расстояние между фокусами. Обозначим через x и y координаты произвольной точки М эллипса (рис 3.6). Тогда по определению эллипса, сумма расстояний от точки М до точек F1 и F2 равно константе (обозначим эту константу через 2а).

Уравнение (3.14) является уравнением эллипса. Упростим данное уравнение, избавившись от квадратных корней. Для этого перенесем один из радикалов в правую часть равенства (3.14) и возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Возводя последнее равенство в квадрат, получим

Разделим обе части на :

Так как сумма расстояний от произвольной точки эллипса до его фокусов больше расстояния между фокусами, т.е. 2а > 2c, то .

Обозначим через b 2 . Тогда простейшее (каноническое) уравнение эллипса будет иметь вид:

Оси координат являются осями симметрии эллипса, заданного уравнением (3.15). Действительно, если точка с текущими координатами (x; y) принадлежит эллипсу, то и точки при любом сочетании знаков принадлежат эллипсу.

2Ось симметрии эллипса, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса. Подставляя x = 0 или y = 0 в уравнение эллипса найдем координаты вершин:

А1(a; 0), А2(– a; 0), B1(0; b), B2(0; – b).

2Отрезки А1А2 и B1B2, соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длины 2a и 2b, называют соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b, называют соответственно большой и малой полуосями эллипса.

2Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами (2с) к большой оси (2a), т.е.

Так как а и с положительны, причем c < a, то эксцентриситет эллипса больше нуля, но меньше единицы ( ).

Если фокусы эллипса расположены на оси Oy (рис.3.7), то уравнение эллипса останется таким же, как и в предыдущем случае:

Однако в этом случае полуось b будет больше, чем a (эллипс вытянут вдоль оси Oy). Формулы (3.16) и (3.17) претерпят следующие изменения соответственно:

Еще:  как отличить сборку фокуса

3. Гипербола. 2Гиперболой называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выводится каноническое уравнение гиперболы аналогично тому как это делалось в случае эллипса. За ось Ox принимаем прямую, соединяющую фокусы F1 и F2 (рис.3.8). Пусть при этом фокусы будут симметричны относительно начала координат, т.е. будут иметь координаты: и . Через 2с, как и прежде, обозначено расстояние между фокусами.

Обозначим через (x; y) координаты произвольной точки М гиперболы. Тогда по определению гиперболы, разность расстояний от точки М до точек F1 и F2 равно константе (обозначим эту константу через 2а).

Производя преобразования аналогичные тем, которые применялись при упрощении уравнения эллипса, мы придем к каноническому уравнению гиперболы:

, (3.21)
где положено

Оси координат являются осями симметрии гиперболы.

2Ось симметрии гиперболы, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точки пересечения гиперболы с ее осями симметрии называются вершинами гиперболы. С осью Oy гипербола не пересекается, т.к. уравнение не имеет решения. Подставляя y = 0 в уравнение (3.21) найдем координаты вершин гиперболы: А1(a; 0), А2(– a; 0).

2Отрезок 2a, длина которого равна расстоянию между вершинами гиперболы, называют действительной осью гиперболы. Отрезок 2b называют мнимой осью гиперболы. Числа a и b, называют соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Можно доказать, что прямые линии

являются асимптотами гиперболы, т.е. такими прямыми, к которым неограниченно приближаются точки гиперболы при их неограниченном удалении от начала координат ( ).

2Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами (2с) к действительной оси (2a), т.е., как и в случае эллипса

Однако в отличии от эллипса эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Если фокусы гиперболы расположены на оси Oy, то в левой части уравнения гиперболы изменятся знаки на противоположные:

В этом случае полуось b будет действительной, а полуось a – мнимой. Ветви гиперболы будут симметричны относительно оси Oy (рис 3.9). Формулы (3.22) и (3.23) не изменятся, формула (3.24) будет выглядеть следующим образом:

4. Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что фокус не лежит на директрисе).

Для того, чтобы составить простейшее уравнение параболы примем за ось Ox прямую, проходящую через ее фокус перпендикулярно директрисе, и направленную от директрисы к фокусу. За начало координат примем середину отрезка O от фокуса F до точки А пересечения оси Ox с директрисой. Длина отрезка AF обозначается через p и называется параметром параболы.

В данной системе координат координаты точек А и F будут, соответственно, , . Уравнение директрисы параболы будет . Обозначим через (x; y) координаты произвольной точки М параболы (рис. 3.10). Тогда по определению параболы:

Возведем обе части равенства (3.27) в квадрат:

Уравнение (3.28) называется каноническим уравнением параболы.

Каноническими являются так же следующие уравнения параболы.

Ветви параболы, заданной уравнением (3.29), направлены влево, фокус имеет координаты , уравнение директрисы .

Ветви параболы, заданной уравнением (3.30), направлены вверх, фокус имеет координаты , уравнение директрисы .

Ветви параболы, заданной уравнением (3.31), направлены вниз, фокус имеет координаты , уравнение директрисы .

Задача 3.3. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса:

4x 2 +9y 2 = 1.

Решение. В каноническом виде уравнение эллипса выглядит следующим образом: Из этого уравнения видно, что большая полуось эллипса равна а малая полуось равна Расстояние от центра эллипса до его фокусов, находим из формулы (3.16): Таким образом, фокусы эллипса имеют координаты:

Эксцентриситет эллипса найдем по формуле (3.17):

Задача 3.4. Асимптоты гиперболы имеют уравнения и расстояние между фокусами равно 10. Составить каноническое уравнение гиперболы.

Решение. Из условия задачи следует, что

Подставляя в равенство (3.22) с = 5 и a = 2b, мы получим уравнение, из которого найдем b:

b 2 = 25 – 4b 2 , 5b 2 = 25, b 2 = 5, . Следовательно, a = 2b = .

Подставляя a 2 = 20 и b 2 = 5 в уравнение (3.21), получим искомое уравнение гиперболы:

Источник

как составить уравнение эллипса если известны его координаты фокуса и эксцентриситета? F1(-2;3/2),F2(2;-3/2), E=sqrt(2)/2

Середина отрезка между фокусами есть центр эллипса. В данном случае — это точка (0,0) — начало координат.
Прямая, соединяющая фокусы имеет угловой коэффициент, равный (-3/2)/2 = -3/4, следовательно, чтобы эта прямая совместилась с осью ОХ, нужно повернуть её на угол ф = arctg(3/4), выполнив преобразования координат

x’ = x * cos ф + y * sin ф
y’ = -х * sin ф + y * cos ф,

если tg ф = 3/4, то cos ф = 4/5, sin ф = 3/5 (египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5)

x’ = 4x/5 + 3y/5
y’ = -3x/5 + 4y/5

Расстояние между фокусами эллипса при повороте осей координат не изменяется и равно корень из ((2 — (-2)^2 + (-3/2 — 3/2)^2) =
корень из (16 + 9) = корень из 25 = 5.
Поскольку фокусы оказываются лежащими на оси OX’, то эта ось содержит большую ось эллипса. Зная расстояние между фокусами 2с = 5 (или с = 2,5) и эксцентриситет Е, можно определить большую полуось эллипса по формуле a = c/E = 2,5 / ((корень из 2)/2) =
= 2,5 корней из 2. Квадрат большой полуоси равен 6,25*2 =12,5. Квадрат эксцентриситета равен 1/2, квадрат малой полуоси вычисляется по формуле b^2 = a^2*(1 — E^2) = 12,5*(1-1/2) = 6,25
Значит в новой системе координат, уравнение искомого эллипса будет выглядеть так:
x’^2 / 12,5 + y’^2 / 6,25 = 1
А в исходной системе координат уравнение получается путём подстановки выражений для новых координат через старые
(4x/5 + 3y/5)^2 / 12,5 + (4y/5 — 3x/5)^2 / 6,25 = 1
Можно умножить обе части уравнения на 25:
2* (4x + 3y)^2 + 4* (4y — 3x)^2 = 25
И раскрыть скобки
2*(16x^2 + 24xy + 9y^2) + 4*(16y^2 — 24xy + 9x^2) = 25
32x^2 + 48xy + 18y^2 + 64y^2 — 96xy + 36x^2 = 25
68x^2 — 48xy + 82y^2 = 25
Всё.

Источник

Кривые линии второго порядка

, (1)

где коэффициенты действительные числа и хотя бы одно из чисел А, В или С отлично от нуля.

К кривым второго порядка относятся линии: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Определение 2. Окружностью называется совокупность точек, равноудаленных от одной и той же фиксированной точки – центра окружности.

Уравнение окружности имеет вид:

, (2)

где – координаты центра окружности, а R – радиус окружности.

Определение 3. Эллипсом называется совокупность точек, сумма расстояний которых до двух заданных точек (фокусов), равна постоянной величине 2а.

Уравнение эллипса имеет вид:

(3)

где а – большая, – малая полуоси эллипса.

Если 2сфокусное расстояние (расстояние между фокусами и ), то между а, b и с существует соотношение:

Определение 4. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине его большей оси

.

У эллипса < 1, так как с < a, а его фокусы лежат на большой оси.

Определение 5. Гиперболой называется совокупность точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух заданных точек, (фокусов), равна постоянной величине 2а.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

(4)

где а – вещественная, b – мнимая полуоси.

Если 2с – фокусное расстояние (расстояние между фокусами и гиперболы), то между а, b и с существует соотношение:

При b = a гипербола называется равносторонней.

Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид:

.

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Еще:  фокусы для детей днем

Определение 5. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси:

Асимптоты гиперболы – две прямые, определяемые уравнениями:

Определение 6. Параболойназывается совокупность точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы:

(5)

где р — параметр, равен расстоянию от директрисы до фокуса, р > 0.

Координаты фокуса

.

Уравнение директрисы

.

Эксцентриситет параболы

.

Виды уравнений параболы:

Пример 1. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса

.

Решение. Разделив обе части уравнения на 16, получим

или , откуда

, , , , ,

, .

Таким образом, имеем:

, , , , .

Пример 2.Построить линию, определяемую уравнением

.

Решение. Вынося за скобки коэффициенты при квадратах координат и выделяя полные квадраты, получаем

,

или ,

где и .

Переходя к новым координатам по формулам , последнее уравнение примет вид

.

Таким образом, это уравнение является уравнением эллипса с полуосями и центром в точке , т.е. , откуда .

Начало новой системы координат находится в точке .

Замечание. Если уравнение линии второго порядка содержит произведение текущих координат, то путем поворота осей и надлежащим выбором угла поворота следует добиться того, чтобы в преобразованном уравнении отсутствовало произведение текущих координат.

Пример 3.Определить вид и расположение на плоскости линии

.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделяя полные квадраты:

,

.

Разделим обе части уравнения на 36:

.

Введем новые координаты , . Уравнение примет вид

.

Оно определяет гиперболу с центром в точке и полуосями , .

Полярная система координат

Полярная система координат определяется некоторой точкой О, являющейся полюсом, лучом, исходящим из этой точки, называемого полярной осью, и масштабом для измерения длины.

Полярными координатами произвольной точки М называются числа полярный радиус, и полярный угол. Обычно положительным считается поворот против часовой стрелки. Исходя из определения, полярный радиус , а полярный угол имеет бесконечно много возможных значений.

Связь между декартовыми и полярными координатами определяется формулами:

; ;

; .

При этом предполагается, что полярная ось совпадает с положительным направлением оси абсцисс, начало координат — с полюсом, и все три оси имеют общую единицу масштаба.

Пример 1.Построить точку М с координатами в полярной системе координат.

Решение. Проведем через полюс О ось под углом к полярной оси ОР (положительное направление указано стрелкой) и отложим от полюса в положительном направлении оси отрезок ОМ, равным трем единицам масштаба. Конец М этого отрезка и будет искомой точкой.

Пример 2.Найти прямоугольные координаты точки, полярные координаты которой .

Решение. .

.

Примеры использования элементов аналитической геометрии в задачах экономического характера

Источник

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием.Часть 1

Здравствуйте, уважаемые хабравчане! Это моя вторая статья, и мне хотелось бы поговорить о вычислительной геометрии.

Немного истории

Я являюсь студентом уже 4 курса математического факультета, и до того как я начал заниматься программированием, я считал себя математиком на 100 процентов.

В конце первого курса мой преподаватель по информатике, который занимается олимпиадным программированием, обратил на меня внимание. Им как раз не хватало одного математика в команду. Так потихоньку меня начали приучать к олимпиадному программированию. Скажу честно, для меня это было очень сложно: для человека, который узнал слово Delphi на первом курсе. Однако мой преподаватель оказался очень грамотным специалистом и нашел хороший подход ко мне. Он начал давать мне математические задачи, который я сначала решал чисто математически, а уже потом писал код (с грехом пополам).

Мне очень нравится подход моего преподавателя: «разберись с этой темой, а потом расскажи нам, да так чтоб мы все поняли».

Итак, первой на самом деле важной задачей, с которой мне поручили разобраться, было именно вычислительная геометрия, необходимо было разобраться в типичных задач этого раздела информатики. И я решил подойти к этой задаче со всей ответственностью.

Я помню, как долго мучился с этими задачами, чтобы они прошли все тесты на сайте informatics.mccme. Зато теперь я очень рад, что прошел через все испытания и знаю, что же такое задачи вычислительной геометрии.

Вступление

«Вычислительная геометрия – это раздел информатики, изучающий алгоритмы решения геометрических задач. Такие задачи возникают в компьютерной графике, проектировании интегральных схем, технических устройств и др. Исходными данными в такого рода задачах могут быть множество точек, набор отрезков, многоугольники и т.п. Результатом может быть либо ответ на какой-то вопрос, либо какой-то геометрический объект».

Поскольку статья является достаточно большой я решил разбить ее на две части: первая часть посвящена многоугольникам, вторая – взаимному расположению различных геометрических объектов.

Немного теории о векторах

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.
image

Длиной ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB. Длина нулевого вектора считается равной нулю.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора AB и CD коллинеарны и если при этом лучи AB и CD сонаправлены, то векторы AB и CD называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы AB и CD называются противоположно направленными. Нулевой вектор принято считать сонаправленным с любым вектором.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
(a, b) = |a||b|cos∠(a, b)
image
Если векторы заданы своими координатами a(x1, y1), b(x2, y2) то скалярное произведение (a, b) = x1x2 + y1y2.

Косое произведение векторов

Псевдоскалярным или косым произведением векторов на плоскости называется число
[a, b] = |a||b|sinθ
где image— угол вращения (против часовой стрелки) от a к b. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то полагают [a, b] = 0.
Если векторы заданы своими координатами a(x1, y1), b(x2, y2) то косое произведение [a, b] = x1y2 — x2y1.
Геометрически косое произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора.
image

Косое произведение векторов в задачах вычислительной геометрии занимает такое же почетное место, как рекурсии в комбинаторике. Это своего рода жемчужина вычислительной геометрии. Практически каждая задача вычислительной геометрии имеет более простое решение с помощью косового произведение вместо лобового решения.

А теперь займемся практикой

Начнем с треугольников
image

Задача №1

Задача очень простая, а именно: по введенным трем числам a, b, c определить существует ли треугольник с такими сторонами.

Решение
Понятно, что здесь нужно только проверить неравенство треугольника: a + b > c, a + c > b, b + c > a. Интересно, при изучении неравенства треугольника только ли у меня возник вопрос: не могут ли отрицательные числа тоже удовлетворять этим трем неравенствам? Оказывается, нет! Если мы сложим каждое неравенство, то получим a > 0, b > 0, c > 0. Поэтому неравенство треугольника является необходимым и достаточным условием существования треугольника.

Задача №2

Задача является очень похожей на предыдущую с той разницей, что треугольник задан не сторонами, а координатами вершин.

Еще:  тони раут фокусы для вас

Решение
С первого взгляда решение кажется очевидным: вычислить стороны треугольника и свести задачу к предыдущей. Однако поскольку расстояние между двумя точками A(x1, y1), B(x2, y2) вычисляется по формуле √(x1-x2) 2 +(y1-y2) 2 то при извлечении корня возможна потеря точности, что плохо скажется на проверке неравенства треугольника. Оказывается, что если треугольник задан координатами своих вершин, то вычислять длины его сторон и проверять неравенство треугольника не требуется. В этом случае треугольника не существует тогда и только тогда, когда данные три точки лежат на одной прямой. А это легко проверяется через косое произведение векторов. Если оно равно нулю, то векторы коллинеарные, то есть все три точки лежат на одной прямой.
image

Во всех следующих задачах будем считать, что треугольник существует, поскольку процедуру проверки существования треугольника мы только что рассмотрели.

Задача №3

Треугольник задан своими сторонами. Определить тип треугольника: тупоугольный, прямоугольный или остроугольный.

Решение
Вспомним, что представляют собой каждый вид треугольника.

image

  1. Угол больше 90° – треугольник тупоугольный
  2. Угол меньше 90°– треугольник остроугольный
  3. Угол равен 90°– треугольник прямоугольный
  • Если cosα > 0, то a 2 < b 2 + c 2 – треугольник остроугольный
  • Если cosα = 0, то a 2 = b 2 + c 2 – треугольник прямоугольный
  • Если cosα < 0, то a 2 > b 2 + c 2 – треугольник тупоугольный
Задача №4

Задача аналогична предыдущей задаче, только треугольник задан не своими сторонами, а координатами вершин.

Решение
Аналогично задаче 2 можно сказать, что эта задача полностью сводится к предыдущей задаче (так оно и есть). Однако, как и во второй задаче, решение можно упростить. Вообще, если треугольник задан координатами своих вершин, то всегда легче работать с ним через вектора, нежели вычислять стороны. Аналогично предыдущей задаче, необходимо определить каким является наибольший из углов треугольника. Вид угла легко определяется по знаку скалярного произведения образующих его векторов: оно положительно для острого угла, равно нулю для прямого угла и отрицательно для тупого угла. Поэтому необходимо посчитать все три скалярных произведения и перемножить их и по знаку данного числа можно судить о типе треугольника.

Задача №5

По данным сторонам треугольника найти его площадь.

Решение
Очевидно решение, заключается в применение формулы Герона.
image
Кстати, никого не интересовало доказательство этой формулы?

image
Вот и все!

Задача №6

Вычислить площадь треугольника заданного координатами своих вершин.

Решение
Не будем говорить о решении, которое сводится к предыдущей задачи, а попробуем воспользоваться геометрическим смыслом косового произведения. Геометрически косое произведение двух векторов определяет ориентированную площадь параллелограмма натянутого на эти вектора. Поскольку диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника, то можем найти площадь нашего треугольника, как половину площади параллелограмма.
Для векторов a(x1, y1), b(x2, y2)
image
S = (x1y2 — x2y1) / 2 — ориентированная площадь треугольника

Задача №7

Дана точка и треугольник заданный координатами своих вершин. Определить лежит ли точка внутри, на границе или вне этого треугольника.

Решение
У этой задачи есть два принципиально разных решения. Начнем с наименее привлекательного.

Метод площадей

image
Если сумма площадей треугольников AKB, AKC, BKC (не ориентированных, а «обычных») больше площади треугольника ABC точка лежит вне треугольника. Если же сумма первых трех площадей равна четвертой, то нужно проверить, не равна ли нулю одна из трех площадей. Если равна, то точка лежит на границе треугольника, иначе – внутри.
Вычислять площади треугольников, естественно, надо через косое произведение векторов. Этот метод не очень хороший. Поскольку здесь используются сравнение чисел с плавающей точкой, а это в свою очередь может привести к принятию неверного решения при сравнении. Второй метод опять таки опирается на вектора, он намного эффективнее во всех отношениях.

Проверка полуплоскостей

Если хотя бы одна из сторон треугольника «разводит» противолежащую ей вершину и точку по разным полуплоскостям, то точка лежит вне треугольника. Иначе, если точка принадлежит хотя бы одной из прямых, содержащих стороны треугольника, то она находится на границе треугольника. Иначе точка лежит внутри треугольника.
image
В первом примере сторона AB разводит вершину C и точку K по разным полуплоскостям, поэтому точка лежит снаружи.

Задача №8

Вычисление площади многоугольника заданного координатами своих вершин.

Решение
Под многоугольником будем подразумевать простой многоугольник, то есть без самопересечений. При этом он может быть как выпуклым, так и не выпуклым.

Данную задачу можно решить двумя способами: вычисляя ориентированные площади трапеций и треугольников.

Метод трапеций

image
Для того чтобы посчитать площадь многоугольника нужно разбить его на трапеции, так как это показано на рисунке, а затем сложить ориентированные площади полученных трапеций это будет ориентированной площадью исходного многоугольника.
S = SA1 A2 B2 B1 + SA2 A3 B3 B2 + SA3 A4 B5 B3 + SA4 A5 B6 B5 + SA5 A6 B4 B6 + SA6 A1 B1 B4
Площади трапеций считаем по известной формуле: полусумма оснований на высоту
SA1 A2 B2 B1 = 0.5 * (A1B1 + A2B2) *(B2 — B1)

Поскольку полученная площадь является ориентированной, необходимо вычислить ее модуль.

Метод треугольников

image

Как вы видите задача вычисления площади многоугольника достаточна проста. Не знаю, почему, но мне больше нравится решать эту задачу методом разбиения на трапеции (наверно потому, что на всех олимпиадах я ее так решал). Тем более, что при втором решении площади треугольников надо вычислять через косое произведение. О формуле Герона надо забыть.

Задача №9

Многоугольник задан координатами своих вершин в порядке его обхода. Необходимо проверить является ли многоугольник выпуклым.

Решение
Напомню, что многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
image

Задача опять сводится к вычислению косового произведения векторов, а именно у выпуклого многоугольника знаки косых произведений [Ai Ai+1, Ai+1 Ai+2] либо положительны, либо отрицательны. Поэтому если мы знаем направление обхода, то знак косых произведений для выпуклого многоугольника одинаков: он неотрицателен при обходе против часовой стрелки и неположителен при обходе по часовой стрелки.

Задача №10

Многоугольник (не обязательно выпуклый) на плоскости задан координатами своих вершин. Требуется подсчитать количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри него (но не на его границе).

Решение
Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательную задачу: отрезок задан координатами своих концов, являющихся целыми числами. Необходимо посчитать количество целочисленных точек лежащих на отрезке. Понятно, что если отрезок вертикальный или горизонтальный, то необходимо вычесть координаты концов и добавить единицу. Интерес представляет случай, когда отрезок не является вертикальным или горизонтальным. Оказывается в этом случае необходимо достроить отрезок до прямоугольного треугольника и ответом будет число равное наибольшему общему делителю длин катетов этого треугольника плюс единица.
image

Для любого многоугольника с целочисленными координатами вершин справедлива формула Пика: S = n + m/2 — 1, где S – площадь многоугольника, n – количество целых точек лежащих строго внутри многоугольника, m – количество целых точек лежащих на границе многоугольника. Поскольку площадь многоугольника мы знаем как вычислять, то S известно. Так же мы можем вычислить количество целых точек лежащих на границе многоугольника, поэтому в формуле Пика остается лишь одна искомая неизвестная которую мы можем найти.
Рассмотрим пример:
image
S = 16 + 4 + 4,5 + 6 + 1 + 2 = 33,5
m = 15
n = 33,5 – 7,5 +1 = 27 — точек лежит строго внутри многоугольника
Вот так вот решается эта задачка!

Источник